Question

【題目】已知函數f（x）=a（x+lnx）（a＞0），g（x）=x2 ．
（1）若f（x）的圖象在x=1處的切線恰好也是g（x）圖象的切線．求實數a的值；
（2）對于區間[1，2]上的任意兩個不相等的實數x1 ， x2且x1＜x2 ， 都有f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）成立．試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=a（x+lnx）（a＞0）， ，

∴x=1，f'（1）=2a，切點為（1，a），

∴切線方程為y﹣a=2a（x﹣1），即y=2ax﹣a，

又聯立 ，消去y，可得x2﹣2ax+a=0，△=4a2﹣4a=0，

∴a=1

（2）解：由條件可知：f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）（x1＜x2），

設F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，

∴F（x）在[1，2]上單調遞減，∴ 在[1，2]上恒成立，

即 在[1，2]上恒成立，∵ ，

∴a≤1，又由條件知a＞0，0＜a≤1從而即為所求

【解析】（1）對f（x）進行求導，找到在點（1，a）的切線方程，與g（x）聯立，根據只有一個交點，解出a的值，（2）設F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，F（x）在[1，2]上單調遞減，F ' ( x )0 在[1，2]上恒成立，參變分離后，求出a的取值范圍即可.
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．