Question

（2013•東城區模擬）對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]（a＜b），使得 {y|y=f（x）．x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列三個函數：①f（x）=x³；②f（x）=cos

π

2

x；③f（x）=e^x．其中存在穩定區間的函數有

①②

．（寫出所有正確的序號）

Answer 1

分析：根據函數“穩定區間”的定義，即存在區間M使函數的定義域與值域均為M．由此對3個函數逐一加以研究，可得對于函數f（x）=x³存在M=[-1，1]符合題意；函數f（x）=cos

π

2

x存在M=[0，1]符合題意；而函數f（x）=e^x不存在“穩定區間”．

解答：解：對于①，當區間M=[-1，1]時，
最小值為f（-1）=-1且最小值為f（1）=1，
因此函數的值域為[-1，1]=M，符合題意；
對于②，f（x）=cos

π

2

x
∵函數在（0，1）上是減函數，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴當區間M=[0，1]時，可得函數的值域為=M，可得②符合題意；
對于③，因為f（x）=e^x是R上的增函數，
且e^x＞x恒成立，故不存在區間M=[a，b]使得當x∈M時值域恰好是M
因此可得③不符合題意．
故答案為：①②

點評：本題給出函數“穩定區間”的概念，要我們在幾個函數中找出存在“穩定區間”函數的個數．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數的定義域與值域等知識，屬于中檔題．