Question

數列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，滿足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），求最大的整數m，使得對任意n∈N^*，均有T_n＞

m

32

成立．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據數列的遞推關系，結合等差數列的定義即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n的表達式，利用裂項法進行求和，解不等式即可．

解答： 解：（1）由題意，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}為等差數列，
設公差為d，
由題意得2=8+3d⇒d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）∵bn=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

2(n+1)

．
若Tn＞

m

32

對任意n∈N^*成立，即

n

n+1

＞

m

16

對任意n∈N^*成立，
∵

n

n+1

(n∈N*)的最小值是

1

2

，
∴

m

16

＜

1

2

，∴m的最大整數值是7
即存在最大整數m=7，使對任意n∈N^*，均有Tn＞

m

32

．

點評：本題主要考查遞推數列的應用，以及數列求和，利用裂項法以及等差數列的定義判斷數列是等差數列是解決本題的關鍵．