Question

設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為

7

3

πa2

．

Answer 1

分析：由題意可知上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答：解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱，設(shè)上下底面中心連線EF的中點(diǎn)O，則O就是球心，
則其外接球的半徑為OA₁，又設(shè)D為A₁C₁中點(diǎn)，在直角三角形EDA₁中，EA₁=

A1D

sin60°

=

a

2sin60°

在直角三角形ODA₁中，OE=

a

2

，由勾股定理
∴R=OA1=

OE2+EA12

=

( a 2 )2+( a 2sin60° )2

=

7 12 a2

，
球的表面積為S=4π•

7a2

12

=

7

3

πa2，
故答案為：

7

3

πa2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力和空間形象能力．