Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，3]內，函數f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠1）有4個零點，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據函數f（x）的周期性以及x∈[0，1]時，f（x）的解析式，求在區間[-1，3]內，f（x）的圖象，函數f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠1）有4個零點，也即，函數f（x）與y=kx+k+1圖象有4個交點，再求k為何值時，函數f（x）與y=kx+k+1圖象有4個交點即可．

解答：解：∵f（x）是以2為周期的偶函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴f（x）的圖象為折線，且當x∈[-1，0]時，圖象與x∈[0，1]時圖象關于y軸對稱，
若函數f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠1）有4個零點，即函數f（x）與y=kx+k+1圖象有4個交點，
y=kx+k+1為過定點（-1，1）的直線，要想與f（x）有4個交點，只要介于（-1，1）和（2，0）連線，與（-1，1）和（3，1）連線之間即可，
求（-1，1）和（2，0）連線斜率為-

1

3

，求（-1，1）和（3，1）連線斜率為0，
∴k的取值范圍是 （-

1

3

，0）
故答案為（-

1

3

，0）

點評：本體考查了函數零點的判斷，做題時注意轉換．