Question

平移f （x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，-＜ϕ＜），給出下列4個論斷：（1）圖象關于x=對稱（2）圖象關于點（，0）對稱      （3）最小正周期是π      （4）在[-，0]上是增函數以其中兩個論斷作為條件，余下論斷為結論，寫出你認為正確的兩個命題：（1）    ．（2）    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由①得ω×+∅=kπ+； 再由②得ω +∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范圍，求得ω、∅的值，從而得函數解析式，從而求出周期和單調增區間，可得③④正確，故得①②⇒③④．
（2）由③可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得  2×+∅=kπ+，k∈z，結合∅的范圍可得φ=，故函數f（x）=sin（2x+），由此推出②④成立．
解答：解：（1）：①②⇒③④．
由①得ω×+∅=kπ+，k∈z．  由②得ω +∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，，故有ω=2，∅=．
∴，其周期為π．
令 ，可得 ．
故函數f（x）的增區間為[]，k∈z．
∵，
∴f（x）在區間[]上是增函數，
故可得 ①②⇒③④．
（2）：還可①③⇒②④．
由③它的周期為π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得  2×+∅=kπ+，k∈z．再由 可得φ=，故函數f（x）=sin（2x+）．
顯然它的圖象關于點（，0）對稱，由（1）可得 f（x）在區間[]上是增函數．
故可得 ①③⇒②④．
故答案為 （1）：①②⇒③④；  （2）：①③⇒②④．
點評：本題主要考查三角函數的周期性，單調性，對稱性，以及學生構造命題拓展問題的能力，屬中檔題．