Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（l）若cos

π

4

sin（φ+

π

2

）-sin

3π

4

sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離等于

π

3

，求函數(shù)f（x）的解析式；并求最小的正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用特殊角的三角函數(shù)值化簡cos

π

4

sin（φ+

π

2

）-sin

3π

4

sinφ=0，根據(jù)|φ|＜

π

2

直接求出φ的值；
（2）在（I）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，求出周期，求出ω，得到函數(shù)f（x）的解析式；函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．推出m=-

kπ

3

-

π

12

（k∈Z），可求最小正實(shí)數(shù)m．

解答：解：（1）由cos

π

4

sin（φ+

π

2

）-sin

3π

4

sinφ=0，得cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=0
即cos（

π

4

+φ）=0又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

．
（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+

π

4

），依題意，

T

2

=

π

3

又T=

2π

ω

，故ω=3，
∴f（x）=sin（3x+

π

4

）
函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)為g（x）=sin[3（x-m）+

π

4

]，
g（x）是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)g（-x）=g（x）對x∈R恒成立
亦即sin（-3x-3m+

π

4

）=sin（3x-3m+

π

4

）對x∈R恒成立．
∴當(dāng)且僅當(dāng)-3m+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）
∴m=-

kπ

3

-

π

12

（k∈Z）從而，最小正實(shí)數(shù)m=

π

4

．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的字母變量的求法，三角函數(shù)的圖象的平移，偶函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．