Question

如圖，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB二60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且=λ（0＜λ＜1）
（1）求證：不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC：
（2）若λ=，求三棱錐A-BEF的體積．

Answer 1

（1）證明：因為AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以，BC⊥CD，又AB∩BC=B，
所以，CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分別是AC、AD上的動點，且=λ（0＜λ＜1）
所以，不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC：
（2）解：在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，所以，BD=，
又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BC，AB⊥BD，
又在Rt△ABC中，∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=
由（1）知EF⊥平面ABE，∴v_{三菱錐A-BEF}=v_{三菱錐F-ABE}
=
所以，三棱錐A-BCD的體積是：
分析：（1）要證不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC，只需證CD⊥平面ABC，在△BCD中，根據∠BCD=90°得證．
（2）根據v三菱錐A-BEF=v三菱錐F-ABE，得出體積即可．
點評：本題考查考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．屬于中檔題．