Question

已知，f（x）=xlnx，g（x）=ax²+bx-1，函數y=g（x）的導數g′（x）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）d≥f（x）-g（x）對一切x＞0恒成立，求實數d的取值范圍；
（Ⅲ）設h（x）=f（x）-g（x），求函數h（x）的零點個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）g'（x）=2ax+b，利用一次函數的圖象與性質求解a，b，即可求得g（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，由于x＞0，可以通過研究T（x）=lnx-x+1＞0恒成立解決．
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h'（x）=lnx-2x+2（x＞0），通過研究其單調性結合零點存在定理解決．

解答：解（Ⅰ）∵g（x）=ax²+bx-1，∴g'（x）=2ax+b
由圖可知b=-1，∴g'（x）=2ax-1，
將x=

1

2

，y=0代入計算得a=1，
∴g（x）=x²-x-1．…3分
（Ⅱ）設T（x）=lnx-x+1（x＞0）．
∴T′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，∴當0＜x＜1時，T'（x）＞0，T（x）單調遞增，當x＞1時，T'（x）＜0，T（x）單調遞減．
∴T（x）_max=T（x）_極大=T（1）=0，即對一切x＞0，都有lnx-x+1≤0，
∴xlnx-x²+x≤0，即xlnx-x²+x+1≤1．
由（Ⅰ）得f（x）-g（x）=xlnx-x²+x+1，所以對一切x＞0都有f（x）-g（x）≤1．
所以實數求d的取值范圍是[1，+∞）．…8分
（Ⅲ）h（x）=xlnx-x²+x+1，h'（x）=lnx-2x+2（x＞0）．
設t（x）=lnx-2x+2（x＞0），則t′(x)=-

2(x- 1 2 )

2x2

，所以當0＜x＜

1

2

時，t'（x）＞0，h'（x）=t（x）是增函數，當x＞

1

2

時，t'（x）＜0，h'（x）=t（x）是減函數，所以h′(x)max=h′(

1

2

)=1-ln2＞0．
又h'（e^-2）=-2e^-2＜0，所以在區間(e-2，

1

2

)上存在唯一的實數x₀，使得h'（x₀）=t'（1）=0（e是自然對數的底數），
所以當x變化時，h'（x）、h（x）的變化情況如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	↘	極小值	↗	極大值1	↘

∴h(x)極小=h(x0)=x0lnx0-

x

2 0

+x0+1，且h'（x₀）=lnx₀-2x₀+2=0，∴h(x)極小=h(x0)=x0(2x0-2)-

x

2 0

+x0+1=

x

2 0

-x0+1=(x0-

1

2

)2+

3

4

＞0．
∵h（x）在區間（1，+∞）遞減，h（e）=2e-e²+1＜0，∴在區間（1，e）上存在唯一一點x，使得h（x）=0．
綜上所述，函數h（x）的零點個數是1．…14分．

點評：本題考查導數知識的運用，函數的單調性，查函數的最值，考查分類討論的數學思想，化歸與轉化思想．數形結合的思想，綜合性強