Question

在如圖1所示的四邊形ABCD中，．現將△ABD沿BD翻折，如圖2所示．
（Ⅰ）若二面角A-BD-C為直二面角，求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）當異面直線AD，BC所成角為時，求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用二面角A-BD-C為直二面角，可得平面ABD⊥平面BCD，根據面面垂直的性質，可得AD⊥平面BCD，從而可得AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O為垂足，建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-BD-C的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：∵二面角A-BD-C為直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD
∵AD⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AD⊥平面BCD
∵BC?平面BCD，∴AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O為垂足，建立空間直角坐標系
∵AD=2，∴BC=1，BO=，OC=，OD=
設二面角A-BD-C的大小為θ，則A（-，2cosθ，2sinθ），D（（-，0，0），B（，0，0），C（0，，0）
∴=（0，2cosθ，2sinθ），=（，，0）
∵=cos
∴=2cos
∵異面直線AD，BC所成角為
∴=或
∴cosθ=或-
∴二面角A-BD-C的余弦值為或-．
點評：本題考查線線垂直，考查空間角，考查學生分析解決問題的能力，考查向量知識的運用，屬于中檔題．