Question

27、是否存在等差數列{a_n}，使a₁c_m⁰+a₂c_m¹+a₃c_m²+…+a_n+1c_mⁿ=n•2^m對任意n∈N^*都成立？若存在，求出數列{a_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：假設存在等差數列a_n=a₁+（n-1）d，滿足題意，通過對a₁c_m⁰+a₂c_m¹+a₃c_m²+…+a_n+1c_mⁿ=n•2^m整理，找出a₁=0，d=2，即可說明存在數列，求出數列{a_n}的通項公式即可．

解答：證明：假設存在等差數列a_n=a₁+（n-1）d
滿足要求a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=a₁（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）+d（C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ）（4分）
=a₁•2ⁿ+nd（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=a₁•2ⁿ+nd•2^n-1
依題意a₁•2ⁿ+nd•2^n-1=n•2ⁿ，2a₁+n（d-2）=0對n∈N⁺恒成立，（10分）
∴a₁=0，d=2，
所求的等差數列存在，其通項公式為a_n=2（n-1）．

點評：本題考查數列的存在性問題，數列求和，數列的應用，以及二項式定理的應用，是難度較大題目．