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(2013•青島一模)已知函數(shù)f(x)=a(x2+1)+lnx.
(Ⅰ)討論函數(shù)f′(x)>0的單調(diào)性;
(Ⅱ)若對(duì)任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]時(shí),恒有ma-f(x)>a2成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先求出f′(x),分a≥0、a<0兩種情況討論解不等式f'(x)>0,f'(x)<0可求得單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)對(duì)任意x∈[1,3]時(shí),恒有ma-f(x)>a2成立,等價(jià)于ma-a2>f(x)max,由(Ⅰ)知f(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性易求f(x)max,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式,分離出參數(shù)m后,再求關(guān)于a的函數(shù)的最值即可;
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=2ax+
1
x
=
2ax2+1
x
(x>0),
①當(dāng)a≥0時(shí),恒有f'(x)>0,則f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
②當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)0<x<
-
1
2a
時(shí),f'(x)>0,則f(x)在(0,
-
1
2a
)
上是增函數(shù);
當(dāng)x>
-
1
2a
時(shí),f'(x)<0,則f(x)在(
-
1
2a
,+∞)
上是減函數(shù);
綜上,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(0,
-
1
2a
)
上是增函數(shù),在(
-
1
2a
,+∞)
上是減函數(shù).
(Ⅱ)由題意知對(duì)任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3]時(shí),恒有ma-f(x)>a2成立,
等價(jià)于ma-a2>f(x)max
因?yàn)閍∈(-4,-2),所以
2
4
-
1
2a
1
2
<1

由(Ⅰ)知:當(dāng)a∈(-4,-2)時(shí),f(x)在[1,3]上是減函數(shù),
所以f(x)max=f(1)=2a,
所以ma-a2>2a,即m<a+2,
因?yàn)閍∈(-4,-2),所以-2<a+2<0,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤-2.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查恒成立問題,考查轉(zhuǎn)化思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2013•青島一模)下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是( 。

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2
”是“直線x-y+k=0與圓“x2+y2=1相切”的( 。

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(2013•青島一模)已知x,y滿足約束條件
x2+y2≤4
x-y+2≥0
y≥0
,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是
4
4

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(2013•青島一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)C滿足:△ABC的周長為2+2
2
,記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)曲線W上是否存在這樣的點(diǎn)P:它到直線x=-1的距離恰好等于它到點(diǎn)B的距離?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)設(shè)E曲線W上的一動(dòng)點(diǎn),M(0,m),(m>0),求E和M兩點(diǎn)之間的最大距離.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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