Question

（2013•青島一模）已知函數(shù)f（x）=a（x²+1）+lnx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f′（x）＞0的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時(shí)，恒有ma-f（x）＞a²成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），分a≥0、a＜0兩種情況討論解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可求得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)任意x∈[1，3]時(shí)，恒有ma-f（x）＞a²成立，等價(jià)于ma-a²＞f（x）_max，由（Ⅰ）知f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性易求f（x）_max，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，分離出參數(shù)m后，再求關(guān)于a的函數(shù)的最值即可；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

（x＞0），
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)0＜x＜

- 1 2a

時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）在(0，

- 1 2a

)上是增函數(shù)；
當(dāng)x＞

- 1 2a

時(shí)，f'（x）＜0，則f（x）在(

- 1 2a

，+∞)上是減函數(shù)；
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在(0，

- 1 2a

)上是增函數(shù)，在(

- 1 2a

，+∞)上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意知對(duì)任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時(shí)，恒有ma-f（x）＞a²成立，
等價(jià)于ma-a²＞f（x）_max，
因?yàn)閍∈（-4，-2），所以

2

4

＜

- 1 2a

＜

1

2

＜1
由（Ⅰ）知：當(dāng)a∈（-4，-2）時(shí)，f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（1）=2a，
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因?yàn)閍∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法．