Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，點B₁在底面內的射影恰好是BC的中點，且BC=CA．
（1）求證：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值為，設，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC中點M，連接B₁M，則B₁M⊥面ABC，故面BB₁C₁C⊥面ABC，由BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，知AC⊥面BB₁C₁C，由此能夠證明面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA為ox軸，CB為oy軸，過點C與面ABC垂直方向為oz軸，建立空間直角坐標系，設AC=BC=2，B₁M=t，則，，，面AB₁B法向量，面AB₁C₁法向量，由此能求出λ的值．
解答：解：（1）取BC中點M，連接B₁M，
則B₁M⊥面ABC，
∴面BB₁C₁C⊥面ABC，
∵BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
∵AC?面ACC₁A₁，
∴面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA為ox軸，CB為oy軸，
過點C與面ABC垂直方向為oz軸，
建立空間直角坐標系，設AC=BC=2，B₁M=t，
∵B₁M⊥面ABC，M是BC中點，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，1，t），C₁（0，-1，t），
即，，，
設面AB₁B法向量
∵，，
∴，
∴；
設面AB₁C₁法向量，
∵，，
∴，
∴，
∵二面角B-AB₁-C₁的余弦值為，
∴cos＜，＞==，
∴解得，
∴BB₁==2，
∴AA₁=BB₁=2，
∴λ===1．
點評：本題考查平面與平面的垂直的證明，求λ的值．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．