Question

【題目】已知橢圓E：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，若直線與橢圓E相交于MN兩點(diǎn)(異于A點(diǎn))，且滿足，試證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（1）由題意的離心率公式，求得，，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得和的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）將直線方程代入橢圓方程，由題意可知 ，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理，即可求得和的關(guān)系，代入即可求得直線恒過定點(diǎn)．

（1）由橢圓離心率，則，，

將代入橢圓方程：，解得：，則，，

橢圓方程為；

（2）證明：設(shè)，，

由，整理得，

則，，

且，即，

，

即，則，

即，

又，

，化簡得，，

解得或且均滿足，

當(dāng)時，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾，

當(dāng)時，，直線過定點(diǎn)，

綜上，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.