Question

方程x³-6x+5=a有三個不同的實根，則a的取值范圍是

(5-4

2

， 5+4

2

)

．

Answer 1

分析：首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區間的關系確定函數的單調區間，分析可知f（x）=x³-6x+5圖象的大致形狀及走向，函數圖象的變化情況，可知方程f（x）=a有3個不同實根，求得實數a的值．

解答：解：設f（x）=x³-6x+5，
f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

，
∴當 x＜-

2

或x＞

2

時f′(x)＞0，當-

2

＜x＜

2

時，f′(x)＜0，
∴f（x）的單調遞增區間是 (-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，單調遞減區間是 (-

2

，

2

)
當 x=-

2

，f(x)有極大值5+4

2

；當 x=

2

，f(x)有極小值5-4

2

由上分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，
∴當 5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f(x)的圖象有3個不同交點，
即方程f（x）=α有三解．
故答案為：（5-4

2

，5+4

2

）．

點評：考查利用導數研究函數的單調性和圖象，體現了數形結合的思想方法．本題是一道含參數的函數、導數與方程的綜合題，需要對參數進行分類討論．屬中檔題．