Question

（4—1：幾何證明選講）如圖，是圓的切線，是切點，直線交圓于、兩點，是的中點，連結并延長交圓于點，若，∠，則________．

Answer 1

解：連接OA，過O作OF⊥AE，過A作AM⊥PC，如圖所示，
∵PA為圓O的切線，
∴∠PAO=90°，又PA=，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，
∴OA=PAtan30°=×  =2，又D為OC中點，故OD=1，
根據余弦定理得：AD²=OA²+OD²-2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=" 7" ，
∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP="2" 3 ，
∴AM=AP= ，
故三角形AOD的面積S= OD•AM=  ，則S=AD•OF=  OF= ，
∴OF=  ，
在Rt△AOF中，根據勾股定理得：AF²= OA²-OF² =，
則AE=2AF=．
故答案為：