Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=

4

3

，|PF2|=

14

3

.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過(guò)圓x²+y²+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程．

Answer 1

分析：解：（Ⅰ）由題意可知2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，由此可求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）解法一：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）+1，代入橢圓C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2.解得k=

8

9

，由此可求出直線l的方程．
（Ⅱ）解法二：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由題意x₁≠x₂且

x12

9

+

y12

4

=1，①

x22

9

+

y22

4

=1，②
由①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0.③因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，代入③得直線l的斜率為

8

9

，由此可求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，
故橢圓的半焦距c=

5

，
從而b²=a²-c²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）解法一：
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
已知圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）．
從而可設(shè)直線l的方程為
y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2.
解得k=

8

9

，
所以直線l的方程為y=

8

9

(x+2)+1，
即8x-9y+25=0．
（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）
（Ⅱ）解法二：
已知圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）．
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題意x₁≠x₂且

x12

9

+

y12

4

=1，①

x22

9

+

y22

4

=1，②
由①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0.③
因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
代入③得

y1-y2

x1-x2

=

8

9

，
即直線l的斜率為

8

9

，
所以直線l的方程為y-1=

8

9

（x+2），
即8x-9y+25=0．
（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意．）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題，避免錯(cuò)誤．