Question

若一個底面邊長為

6

2

的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，若此球的體積為4

3

π，則正六棱柱的體積為

 

．

Answer 1

考點：球內(nèi)接多面體

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：作出六棱柱的最大對角面與外截球的截面，設(shè)正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，球心為O，一個頂點為A，如圖．可根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理算出O₁O=

6

2

，再求出正六棱柱的體積．

解答： 解：作出六棱柱的最大對角面與外截球的截面，如圖，則該截面矩形分別以底面外接圓直徑和六棱柱高為兩邊，
設(shè)球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，則球心O是O₁，O₂的中點．
∵球的體積為4

3

π，
∴球的半徑為

3

，
∵正六棱柱底面邊長為

6

2

，
∴Rt△AO₁O中，AO₁=

6

2

，AO=

3

，∴O₁O=

6

2

，
因此，該正六棱柱的體積為V=6×

3

4

×（

6

2

）²×

6

=

27

4

2

．
故答案為：

27

4

2

．

點評：本題給出一個正六棱柱，求它的體積，著重考查了球的內(nèi)接多面體和球體積公式等知識點，屬于基礎(chǔ)題．