Question

某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為x萬元時，銷售量P萬件滿足P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a為正常數）．現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品P萬件還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為(4+

20

P

)萬元/萬件．
（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析：（1）根據題意售價為(4+

20

P

)萬元/萬件，銷售量為P，成本為（10+2P）+x萬元，利用利潤=銷售額-成本，即可列出函數關系式；
（2）對a進行分類討論，當a≥1時，利用基本不等式即可求得最值，當a＜1時，利用導數確定函數的單調性，從而求得最值，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意知，該產品售價為2×(

10+2P

P

)萬元，銷售量為P，成本為（10+2P）+x萬元，
∴y=2×(

10+2P

P

)×P-10-2P-x，
∵P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a為正常數），
∴y=2×

10+2(3- 2 x+1 )

3- 2 x+1

×(3-

2

x+1

)-10-2×（3-

2

x+1

）-x=16-x-

4

x+1

，
∴y=16-(

4

x+1

+x)（0≤x≤a），
∴該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數為y=16-(

4

x+1

+x)（0≤x≤a）；
（2）由（1）可知，y=16-(

4

x+1

+x)（0≤x≤a），
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 ×(x+1)

=13，
當且僅當

4

x+1

=x+1，即x=1時取等號，
∵0≤x≤a，
①當a≥1時，x=1時，y取得最大值為13，
∴促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；
②當a＜1時，y=16-(

4

x+1

+x)，
∴y′=

-(x-1)•(x+3)

(x+1)2

＞0，解得-3＜x＜1，
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)在（-3，1）上單調遞增，
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)在[0，a]上單調遞增，
∴在x=a時，函數有最大值，
∴促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．
綜合①②可得，當a≥1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，
當a＜1時，促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．在運用數學方法求解最值時，選用了基本不等式和導數的方法求解．屬于中檔題．