Question

【題目】已知F1、F2分別為橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且離心率為 ，點(diǎn)A（﹣ ， ）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，使直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ)，且直線l是否恒過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F1、F2分別為橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，

且離心率為 ，點(diǎn)A（﹣ ， ）在橢圓C上．

∴ ，解得a2=2，b2=1．

∴橢圓C的方程為

（2）解：由題意知直線MN存在斜率，其方程為y=kx+m，

由 ，

消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，

設(shè)M（ ， ，

又kF2M= ， ，

由已知直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ)，

得 ．

化簡(jiǎn)，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，

∴

整理得m=﹣2k．

直線MN的方程為y=k（x﹣2），

因此直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

【解析】（1）由已知得 ，由此能求出橢圓C的方程．（2）由題意知直線MN存在斜率，其方程為y=kx+m，由 ，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出直線MN過(guò)定點(diǎn)（2，0）．