Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）求證：（，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即判斷在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào),只需對(duì)求導(dǎo)即可；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導(dǎo)數(shù)求最值,從而求出的取值范圍；（Ⅲ）要證（成立,即證,即證

,由（Ⅱ）可知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040704362119247190/SYS201404070437129424278125_DA.files/image020.png">,從而證出.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（），（1分）

（），（2分）

由解得，由解得,

 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3分）

（Ⅱ）因當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè) （），只需即可． （4分）

由，  （5分）

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故 成立；（6分）

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，因，所以，

①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上無(wú)最大值（或：當(dāng)時(shí)，），此時(shí)不滿足條件；

②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣 在上無(wú)最大值，不滿足條件 ；（8分）

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，

∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．  （9分）

（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，又，

∵

（10分）

 

，  （11分）

∴．                   （12分）

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的求單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求最值、拆項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.