Question

【題目】已知函數，如果存在給定的實數對，使得恒成立，則稱為“函數”.

（1）判斷函數，是否是“函數”；

（2）若是一個“函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；

（3）若定義域為的函數是“-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，當時，的值域為，求當時函數的值域.

Answer 1

【答案】（1）不是“-函數”，是“-函數”；（2），；（3）.

【解析】

（1）先分別假設和為“函數”，根據“函數”的定義進行驗證，由此判斷出這兩個函數是否為“函數”

（2）根據“函數”的定義，恒成立，利用兩角和與差的正切公式進行化簡，由此列方程，解方程求得的值，進而確定有序實數對.

（3）首先根據“函數”的定義得到，，由此得到，依次求得函數的值域，依次類推，得到，，進而求得時函數的值域，根據求得時函數的值域，從而求得時函數的值域.

（1），若為“-函數”，則存在實數對，使得恒成立，即，最多有兩個符合，不恒成立，∴不是“-函數”；

，若為“-函數”，存在實數對，使得，即只需滿足，∴存在實數對，即是“-函數”；

（2），即，

即恒成立，∴，，

∴，，，，即有序實數對為，；

（3），，∴，當時，的值域為，當，，當，，當，，……，依此類推，，，∴時，，∵，∴時，，綜上，當時，函數的值域為.