Question

13、已知：A是以BC為直徑的圓上的一點，BE是⊙O的切線，CA的延長線與BE交于E點，F是BE的中點，延長AF，CB交于點P．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）要想證PA是⊙O的切線，只要連接OA，求證∠OAP=90°即可；
（2）先由切線長定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根據勾股定理求出CE，最后由切割線定理求出AE的長．

解答：（1）證明：連接AB，OA，OF；
∵F是BE的中點，
∴FE=BF．
∵OB=OC，
∴OF∥EC．
∴∠C=∠POF．
∴∠AOF=∠CAO．
∵∠C=∠CAO，
∴∠POF=∠AOF．
∵BO=AO，OF=OF，
∴∠OAP=∠EBC=90°．
∴PA是⊙O的切線．

（2）解：∵BE是⊙O的切線，PA是⊙O的切線，
∴BF=AF=3，
∴BE=6．
∵BC=8，∠CBE=90°，
∴CE=10．
∵BE是⊙O的切線，
∴EB²=AE•EC．
∴AE=3.6．

點評：本題考查的與圓有關的比例線段、切線的判定及相似三角形的判定和性質，勾股定理的運用的綜合運用．