Question

(本小題15分)

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數(shù) 的取值范圍。

      

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，函數(shù)， ．         　　　　　　　　　　　    

， 

曲線在點處的切線的斜率為．    …………2分

從而曲線在點處的切線方程為，

即．                                                 ………3分                   

（Ⅱ）．                          …………4分

令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立.                                          ……………5分

由題意＞0，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，

只需，即，

∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實數(shù)的取值范圍是.       ………7分

    也可用分離參數(shù)法挺好

（Ⅲ）∵在上是減函數(shù)，

  ∴時，； 時，，即， ……8分

①當＜0時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側(cè)，且，∴ 在內(nèi)是減函數(shù)．

當時，，因為，所以＜0，＜0，

    此時，在內(nèi)是減函數(shù)．   

故當時，在上單調(diào)遞減，不合題意……10分

②當0＜＜1時，由，

所以．

又由（Ⅱ）知當時，在上是增函數(shù)，

 ∴＜，不合題意； ……………12分

③當時，由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，，

又在上是減函數(shù)，

故只需＞，，

而，，即  ，

  解得＞ ，所以實數(shù)的取值范圍是.    ……15分