Question

甲乙二人進行射擊練習，甲每次擊中目標的概率為

1

2

，乙每次擊中目標的概率為

2

3

，
（1）若甲乙各射擊3次，求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率；
（2）甲乙各射擊n次，為使目標被擊中的概率大于0.99，求n的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求得甲擊中目標2次，而乙一次也沒有擊中目標的概率為

C

2 3

(

1

2

)2•（1-

1

2

）•(1-

2

3

)3；甲擊中目標3次，而乙只擊中一次的概率為 (

1

2

)3•

C

1 3

2

3

(1-

2

3

)2，
相加即得所求．
（2）射擊n次，求得目標沒有被擊中的概率為 (1-

1

2

)n•(1-

2

3

)n，可得目標被擊中的概率為 1-(1-

1

2

)n•(1-

2

3

)n＞0.99，由此求得自然數n的最小值．

解答：解：（1）甲恰好比乙多擊中目標2次，即甲擊中目標2次，而乙一次也沒有擊中目標；或者甲擊中目標3次，而乙只擊中一次．
甲擊中目標2次，而乙一次也沒有擊中目標的概率為

C

2 3

(

1

2

)2•（1-

1

2

）•(1-

2

3

)3=

1

72

；
甲擊中目標3次，而乙只擊中一次的概率為 (

1

2

)3•

C

1 3

2

3

(1-

2

3

)2=

2

72

，
∴甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為

1

72

+

2

72

=

1

24

．
（2）射擊n次，目標沒有被擊中的概率為 (1-

1

2

)n•(1-

2

3

)n，則目標被擊中的概率為 1-(1-

1

2

)n•(1-

2

3

)n＞0.99，
經過檢驗，自然數n的最小值為3．

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率，屬于中檔題．