Question

【題目】某地棚戶區改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域近似為圓面，該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶區建筑用地，測量可知邊界AB＝AD＝4萬米，BC＝6萬米，CD＝2萬米．

(1)請計算原棚戶區建筑用地ABCD的面積及AC的長；

(2)因地理條件的限制，邊界AD，DC不能變更，而邊界AB，BC可以調整，為了提高棚戶區建筑用地的利用率，請在上設計一點P，使得棚戶區改造后的新建筑用地APCD的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：(1)利用圓內接四邊形得到對角互補，再利用余弦定理求出相關邊長，再利用三角形的面積公式和分割法進行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式進行求解．

試題解析：(1)根據題意知，四邊形ABCD內接于圓，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.

在△ADC中，由余弦定理，得

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.

又cos∠ABC＝－cos∠ADC，

∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2萬米，

又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.

∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8 (平方萬米)．

(2)由題意知，S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，

且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方萬米)．

設AP＝x，CP＝y，則S△APC＝xysin＝xy.

在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，

又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，

當且僅當x＝y時取等號，∴xy≤28.

∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方萬米)，

故所求面積的最大值為9平方萬米，此時點P為的中點．