Question

（本小題滿分12分）

如圖：在三棱錐中，是直角三角形，，，點、分別為、的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

解析:

解法一:（Ⅰ） 連結BD．在中，.

∵，點為AC的中點，∴．

又∵即BD為PD在平面ABC內的射影，∴．

∵分別為的中點,∴,∴．   ( 3分)

（Ⅱ）∵∴．

連結交于點，∵，,∴，

∴為直線與平面所成的角，.          (4分)

          

.∵∴，，又∵，

∴.∵，∴，

∴在Rt△中，，∴．    (8分)

（Ⅲ）過點作于點F，連結，∵

∴即BM為EM在平面PBC內的射影，

∴∴為二面角的平面角．             (9分)

∵中，,∴．       (12分)

解法二：建立空間直角坐標系B−xyz,如圖，

則，，，，.     (2分)

（Ⅰ）∵，，

∴ ,∴.       (4分)

（Ⅱ）由已知可得，為平面的法向量，,

∴ ，

∴直線與面所成角的正弦值為.

∴直線與面所成的角為.        (8分)

（Ⅲ）設平面PEF的一個法向量為a，∵，

∴ a，a，令，∴ a

由已知可得，向量為平面PBF的一個法向量，

∴  a ，∴ a .

∴二面角的正切值為.             (12分)