Question

【題目】已知函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區間[0，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）=，

（1）求a、b的值；

（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）由a＞0可知二次函數的圖象是開口向上的拋物線，求出對稱軸方程，根據函數在區間[0，3]上有最大值4和最小值1列式求解a，b的值；

（2）利用（1）中求出的函數解析式，把不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解轉化為在x∈[﹣1，1]上有解，分離變量k后，構造輔助函數，由k小于等于函數

在x∈[﹣1，1]上的最大值求k的取值范圍，然后利用換元法化為二次函數，利用二次函數求最值．

解：（1）函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0），

∵a＞0，對稱軸為x=1，所以g（x）在區間[0，3]上是先減后增，

又g（x）在區間[0，3]上有最大值4和最小值1．

故，解得；

（2）由（1）可得，

所以f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，可化為在x∈[﹣1，1]上有解．

即．

令，∵x∈[﹣1，1]，故，

記，對稱軸為：，

∵，h（t）單調遞增，

故當t=2時，h（t）最大值為．

所以k的取值范圍是．