Question

已知函數f（x）=

1

x2+1

，令g（x）=f（

1

x

）．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）求證：f（x）+g（x）=1（x≠0）；
（3）如圖，已知f（x）在區間[0，+∞）的圖象，請據此在該坐標系中補全函數f（x）在定義域內的圖象，并在同一坐標系中作出函數g（x）的圖象．請說明你的作圖依據．

Answer 1

分析：（1）函數的定義域為R，求出x²+1的范圍，取倒數即可得到答案；
（2）由f（x）的解析式求出g（x），作和后整理即可證得答案；
（3）利用偶函數圖象的對稱性畫圖．

解答：（1）解：f（x）=

1

x2+1

，由x²+1≥1，得0＜

1

x2+1

≤1，
∴函數f（x）的值域為（0，1]；
（2）證明：由f（x）=

1

x2+1

，則g（x）=f（

1

x

）=

1

( 1 x )2+1

=

x2

1+x2

．
∴f（x）+g（x）=

1

x2+1

+

x2

1+x2

=1；
（3）解：∵函數f（x）=

1

x2+1

為偶函數，∴其圖象關于y軸對稱，圖象如圖，

點評：本題考查了函數值的求法，考查了函數的性質，偶函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形，是基礎題．