Question

f（x）=

1

3

x³-4x+4  
（1）求函數的極值
（2）求函數在區間（-3，4）上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）的導函數，解出導函數的零點，由零點對定義域分段，判斷導函數在各區間段內的符號，從而得到原函數在各區間段內的單調性，得出極值點，把極值點的橫坐標代入原函數解析式求極值；
（2）函數在區間（-3，4）上有一個極大值點和一個極小值點，而x=-3與x=4的函數值都大于該區間內的極小值，小于該區間內的極大值，所以，極小值即為最小值，極大值即為最大值．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x³-4x+4，得：f′（x）=x²-4．
由f′（x）=x²-4=0，得：x=-2，或x=2．
列表：

由表可知，函數f（x）的極大值為f（-2）=

1

3

×(-2)3-4×(-2)+4=

28

3

．
函數f（x）的極小值為f（2）=

1

3

×23-4×2+4=-

4

3

．
（2）因為f（-3）=

1

3

×(-3)3-4×(-3)+4=7．
f（4）=

1

3

×43-4×4+4=

28

3

．
又f（2）＜f（-3）＜f（-2），
f（2）＜f（4）≤f（-2）．
所以，函數f（x）在區間（-3，4）上的最大值為f(-2)=

28

3

．
最小值為f(2)=-

4

3

．

點評：本題考查了函數在某點取得極值的條件，連續函數在定義域內某點的兩側的單調性相反，則該點即為函數的極值點，考查了導數在求函數最值時的應用，閉區間上的連續函數一定有最值，開區間內則不一定．此題是中檔題．