Question

求滿足下列關系式組的正整數解組的個數．

Answer 1

131

解析:

[解]  令，由條件知，方程化為

，即．       （1）

因，故，從而．

設．因此（1）化為

．                      （2）          

下分為奇偶討論，

（ⅰ）當為奇數時，由（2）知為奇數．

令，，代入（2）得

．      （3）

（3）式明顯無整數解．故當為奇數時，原方程無正整數解．             

（ⅱ）當為偶數時，設，由方程（2）知也為偶數．從而可設，代入（2）化簡得

        ．                      （4）

由（4）式有，故，從而可設，則（4）可化為，

        ．　　　　　　　　　　　（5）

因為整數，故．                                  

又，因此

   ，得，

   ．

因此，對給定的，解的個數恰是滿足條件的的正因數的個數．因不是完全平方數，從而為的正因數的個數的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

由題設條件，．而

25以內有質數9個：2，3，5，7，11，13，17，19，23．將25以內的數分為以下八組：：

，

，

，

，

，

，

，

，

從而易知

，

，

，

，

，

，

，

將以上數相加，共131個．因此解的個數共131．