Question

有一個數(shù)據(jù)運算裝置，如下圖所示，輸入數(shù)據(jù)x通過這個運算裝置就輸出一個數(shù)據(jù)y，輸入一組數(shù)據(jù)，則會輸出另一組數(shù)據(jù)．要使輸入的數(shù)據(jù)介于20～100之間（含20和100，且一個都不能少），輸出的另一組數(shù)據(jù)后滿足下列要求：①新數(shù)據(jù)在60～100之間（含60和100，也一個都不能少）；②新數(shù)據(jù)的大小關系與原數(shù)據(jù)的大小關系相反，即原數(shù)據(jù)較大的對應新數(shù)據(jù)較小．
（1）若該裝置的運算規(guī)則是一次函數(shù)，求出這種關系；
（2）若該裝置的運算規(guī)則是y=a（x-h）²（a＞0），求滿足上述條件的a，h應滿足的關系式；
（3）請你設計一種滿足上述條件新的運算規(guī)則（非一次、二次函數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）假設該運算裝置的運算規(guī)則是一次函數(shù)，設一次函數(shù)的解析式是y=kx+b （k≠0），根據(jù)題意，則

100=20k+b 60=100k+b

得到函數(shù)的解析式．
（2）要使規(guī)則y=a（x-h）²²滿足以上條件，則必須有函數(shù)y=a（x-h）²²的定義域為[20，100]，值域為[60，100]且該函數(shù)在[20，100]上單調(diào)遞減，寫出a，h應滿足條件，得到兩者的關系式．
（3）假設新的運算法則是指數(shù)型的符合函數(shù)，根據(jù)條件中所給的函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法來解題，得到函數(shù)的系數(shù)，寫出函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）若該運算裝置的運算規(guī)則是一次函數(shù)，
設y=kx+b （k≠0）
根據(jù)題意，則

100=20k+b 60=100k+b

   解得

k=- 1 2 b=110

∴y=-

1

2

x+110-------------------（4分）
（2）要使規(guī)則y=a（x-h）²²滿足以上條件，
則必須有函數(shù)y=a（x-h）²²的定義域為[20，100]，
值域為[60，100]
且該函數(shù)在[20，100]上單調(diào)遞減：故a，h應滿足條件100=a（20-h）²
60=a（100-h）²
h≥100
a＞0-------------------（8分）
∴a=-

1

4(60-h)

(h≥100)--------（10分）
（3）若設新的運算規(guī)則是y=a(

1

2

)x+b (a＞0)--------（12分）
則

100=a( 1 2 )20+b 60=a( 1 2 )100+b

 解得

a= 40 ( 1 2 )20-( 1 2 )100 b= 60( 1 2 )2-100( 1 2 )100 ( 1 2 )20-( 1 2 )100

-----（14分）
故新的運算規(guī)則是y=

40

( 1 2 )20-( 1 2 )100

 (

1

2

)2+

60( 1 2 )20-100( 1 2 )100

( 1 2 )20-( 1 2 )100

-----（16分）

點評：本題考查指數(shù)型函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)的解析式的求法和一次函數(shù)的解析式的求法，本題解題的關鍵是根據(jù)所給的順序結(jié)構(gòu)，看出題目的意義，即看出題目的實質(zhì)，本題是一個中檔題目．