Question

已知函數y=f（x）的周期為2，當x∈[0，2]時，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-5|，則函數y=g（x）的所有零點之和為（　　）

A．20

B．40

C．60

D．80

Answer 1

分析：先根據函數的周期性畫出函數y=f（x）的圖象，以及令h（x）=log₅|x-5|的圖象，結合圖象可得當x＞10時，h（x）=log₅|x-5|＞1，此時與函數y=f（x）無交點，再根據y=log₅|x-5|的圖象關于直線x=5對稱，結合圖象即可判定函數g（x）=f（x）-log₅|x-5|的零點之和；

解答：解：由題意可得g（x）=f（x）-log₅|x-5|，根據周期性畫出函數f（x）=（x-1）²的圖象，
g（x）=f（x）-log₅|x-5|有零點，可得g（x）=0即f（x）=log₅|x-5|，
以及h（x）=log₅|x-5|的圖象，

根據h（x）=log₅|x-5|在（5，+∞）上單調遞增函數，當x=6 時，h（x）=log₅|6-5|=0，
∴當x＞10時，y=log₅|x-5|＞1，此時與函數y=f（x）無交點．
再根據h（x）=log₅|x-1|的圖象和 f（x）的圖象都關于直線x=5對稱，結合圖象可知有8個交點，
則函數g（x）=f（x）-log₅|x-5|的零點之和為4×10=40，
故選B

點評：本題考查函數的零點，求解本題，關鍵是研究出函數f（x）性質，作出其圖象，將函數g（x）=f（x）-|log₅x-5|的零點個數的問題轉化為兩個函數交點個數問題是本題中的一個亮點，此一轉化使得本題的求解變得較容易，屬于中檔題．