Question

函數(shù)f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的部分圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)O（0，0），A（x₀，y₀）．
（Ⅰ）請(qǐng)指出圖中曲線C₁，C₂分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù)？
（Ⅱ）求證x₀∈（

1

2

，1）；
（Ⅱ）請(qǐng)通過直觀感知，求出使f（x）＞g（x）+a對(duì)任何1＜x＜8恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由圖象特征可知，C₁是g（x）=log₃（x+1）的圖象，C₂對(duì)應(yīng)f（x）=x²；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理證明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F(xiàn)（1）=1-log₃2＞0，且由圖象可知，a＜1-log₃2．

解答： 解：（Ⅰ）C₁是g（x）=log₃（x+1）的圖象，
C₂對(duì)應(yīng)f（x）=x²；
（Ⅱ）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），
∵F（

1

2

）=

1

4

-log₃（

1

2

+1）=log₃2-

3

4

＜0，
F（1）=1-log₃2＞0，
故存在x₀∈（

1

2

，1），使F（x₀）=0，
即x₀是函數(shù)f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的圖象的交點(diǎn)；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F(xiàn)（1）=1-log₃2＞0，
且由圖象可知，
a＜1-log₃2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的區(qū)別及函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中檔題．