分析：（1）利用“累加求和”和等差數列的前n項和公式即可求出；
（2）通過已知條件先探究數列{b
n}是一個以6為周期的循環數列，進而即可證明數列{c
n}為常數列．
（3）由條件探索出：數列{a
6n+i}均為以7為公差的等差數列，求出
fn=，及其單調性，通過對a
i分類討論即可得出結論．
解答：解：（1）當n≥2時，有
a
n=a
1+（a
2-a
1）+（a
3-a
2）+…+（a
n-a
n-1）
=a
1+b
1+b
2+…+b
n-1=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×
=n
2-n，又當n=1時此式也成立．
∴數列{a
n}的通項為
an=n2-n．
（2）∵b
n+1+b
n-1=b
n（n≥2），
∴對任意的n∈N
*有b
n+6=b
n+5-b
n+4=-b
n+3=b
n+1-b
n+2=b
n，
∴數列{b
n}是一個以6為周期的循環數列
又∵b
1=1，b
2=2，
∴b
3=b
2-b
1=1，b
4=b
3-b
2=-1，b
5=b
4-b
3=-2，b
6=b
5-b
4=-1．
∴c
n+1-c
n=a
6n+5-a
6n-1=a
6n+5-a
6n+4+a
6n+4-a
6n+3+…+a
6n-a
6n-1=b
6n+4+b
6n+3+b
6n+2+b
6n+1+b
6n+b
6n-1=b
4+b
3+b
2+b
1+b
6+b
5=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以數列{c
n}為常數列．
（3）∵b
n+1b
n-1=b
n（n≥2），且b
1=1，b
2=2，
∴b
3=2，b
4=1，
b5=，
b6=，
且對任意的n∈N
*，有
bn+6==
==bn，
設c
n=a
6n+i（n≥0），（其中i為常數且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴c
n+1-c
n=a
6n+6+i-a
6n+i=b
6n+i+b
6n+i+1+b
6n+i+2+b
6n+i+3+b
6n+i+4+b
6n+i+5=b
1+b
2+b
3+b
4+b
5+b
6=1+2+2+1+
+=7（n≥0）．
所以數列{a
6n+i}均為以7為公差的等差數列．
記
fn=，則
fk===
=
+，
（其中n=6k+i，k≥0，i為{1，2，3，4，5，6}中的一個常數），
當
ai=時，對任意的n=6k+i有
=；
當
ai≠時，f
k+1-f
k=
-=
(ai-)(-)=
(ai-)，
①若
ai＞，則對任意的k∈N有f
k+1＜f
k，數列{
}為單調減數列；
②若
ai＜，則對任意的k∈N有f
k+1＞f
k，數列{
}為單調增數列；
綜上，當
ai=且i∈{1，2，3，4，5，6}時，數列{
}中必有某數重復出現無數次
當i=1時，
a1=符合要求；當i=2時，
a2==符合要求，
此時的
a1=a2-b1=；
當i=3時，
a3==符合要求，
此時的
a2=a3-b2=，
a1=a2-b1=；
當i=4時，
a4==
符合要求，
此時的
a1=a4-b3-b2-b1=-；
當i=5時，
a5==符合要求，
此時的
a1=a5-b4-b3-b2-b1=-；
當i=6時，
a6==7符合要求，
此時的a
1=a
6-b
5-b
4-b
3-b
2-b
1=
；
即當a
1∈{
，
，
，
-，
-}時，
數列{
}中必有某數重復出現無數次．
點評：熟練掌握等差數列的前n項和公式、“累加求和”、探究數列{b
n}是一個以6為周期的循環數列、數列{a
6n+i}均為以7為公差的等差數列，求出
fn=并探究其單調性是解題的關鍵．注意分類討論思想方法的運用，本題較好的考查了學生的探究能力和計算能力，本題有一點的難度．
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