Question

設函數f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m，g（x）在[1，+∞）上最小值為-2，求m的值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意知f（0）=1+（k-1）=0，代入驗證即可；
（2）由題意，f（1）=a-a^-1=

3

2

，從而求出a，進而求g（x）在[1，+∞）上的最小值，從而求m．

解答： 解：（1）∵f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數，
∴f（0）=1+（k-1）=0，
解得，k=0，
經檢驗，當k=0時，f（x）是奇函數，
故k=0；
（2）由題意，f（1）=a-a^-1=

3

2

，
故a=2，
則g（x）=2^2x+2^-2x-2m=（2^x+2^-x）²-2m-2，
∵x≥1，
∴2^x+2^-x≥2

1

2

，
故g_min（x）=4+

1

4

-2m=-2，
解得，m=

25

8

．

點評：本題考查了函數的性質的應用，屬于基礎題．