Question

若實數m、n、p、q滿足m+n=1,p+q=1,mp+nq＞1,求證:m、n、p、q中至少有一個是負數.

Answer 1

證明:假設m、n、p、q全都不是負數,即m≥0,n≥0,p≥0,q≥0,

則有mq+np≥0.               ①

又m+n=1,p+q=1,

∴(m+n)(p+q)=(mp+nq)+(mq+np)=1.

又mp+nq＞1,

∴mq+np＜0.與①矛盾.

∴假設不成立.

則原結論m、n、p、q中至少有一個是負數成立.