Question

某社區舉辦2011年西安世園會知識宣傳活動，進行現場抽獎，抽獎規則是：盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世園會會徽”或“長安花”（世園會吉祥物）圖案，參加者從盒中一次抽取卡片兩張，記錄后放回．若抽到兩張都是“長安花”卡即可獲獎．
（Ⅰ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“長安花”卡？主持人說：我只知道若從盒中抽兩張都不是“長安花”卡的概率是

2

15

，求抽獎者獲獎的概率；
（Ⅱ）現有甲、乙、丙、丁四人每人抽獎一次，用ξ表示獲獎的人數，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（I）設出世園會會徽的張數為n，根據從盒中抽兩張都不是“長安花”卡的概率是

2

15

，根據等可能事件的概率，寫出概率的表示式，解出未知數的值，得到長安花的張數，根據等可能事件的概率得到結果．
（Ⅱ）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，4，結合變量對應的事件和獨立重復試驗的概率公式，寫出各個變量對應的概率，寫出分布列，做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）設“世園會會徽”卡有n張，
由

C 2 n

C 2 10

=

2

15

，
∴n=4
∴“長安花”有6張，抽獎者獲獎的概率為

C 2 6

C 2 10

=

1

3

（Ⅱ）ξ可能取的值為0，1，2，3，4，
則P(ξ=0)=(

2

3

)4=

16

81

，
P(ξ=1)=

C

1 4

1

3

•(

2

3

)3=

32

81

，
P(ξ=2)=

C

2 4

(

1

3

)2•(

2

3

)2=

24

81

，
P(ξ=3)=

C

3 4

(

1

3

)3•

2

3

=

8

81

，
P(ξ=4)=(

1

3

)4=

1

81

∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3	4
P（ξ）	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

∴Eξ=1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查古典概型的概率及其公式，考查獨立重復試驗的概率公式，本題是一個綜合題目，是近幾年高考卷中經常出現的題目．