Question

已知三次函數f（x）的導函數f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，（a、b實數）．若f（x）在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2，1，且1＜a＜2，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析：據導函數的形式設出f（x），求出導函數為0的兩個根，判斷出根與定義域的關系，求出函數的最值，列出方程求出f（x）的解析式．

解答：解：∵f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，
∴f（x）=x3-

3

2

ax2+b，
由f′（x）=3x（x-a）=0，得x₁=0，x₂=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x∈（0，1]時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區間[-1，1]上的最大值為f（0），
∵f（0）=b，∴b=1，
∵f（1）=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）是函數f（x）的最小值，
∴-

3

2

a=-2，∴a=

4

3

，
∴f（x）=x³-2x²+1．

點評：本題考查利用導數研究函數的最值，一定要注意導數為0的根與定義域的關系．解決本題的關鍵是利用導數求得函數最值，然后利用條件列出方程．