Question

（2013•泉州模擬）已知橢圓C的對稱中心為坐標原點，上焦點為F（0，1），離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；    
（Ⅱ）設A（m，0）（m＞0）為x軸上的動點，過點A作直線l與直線AF垂直，試探究直線l與橢圓C的位置關系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知c，由離心率求出a，結合b²=a²-c²可求b，則橢圓的標準方程可求；
（Ⅱ）由題意知直線AF的斜率存在且求得其斜率，求出直線l的斜率，寫出直線方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，寫出判別式后由m的范圍得到判別式的符號，從而直線和橢圓的位置關系．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知c=1，∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2，
則b²=a²-c²=4-1=3，所以b=

3

，
所以橢圓C的標準方程為

x2

3

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）∵k_AF=-

1

m

，∴直線l的斜率k₁=m，
則直線l：y=m（x-m）．
聯立y=m（x-m）與

x2

3

+

y2

4

=1，
有（4+3m²）x²-6m³x+3m⁴-12=0，
則△=36m⁶-4（4+3m²）•（3m⁴-12）=-48（m⁴-3m²-4）
=-48（m²+1）（m²-4）=-48（m²+1）（m-2）（m+2），
∵m＞0，∴m²+1＞0，m+2＞0，
則當0＜m＜2時，△＞0，此時直線l與橢圓C相交；   
當m=2時，△=0，此時直線l與橢圓C相切；  
當m＞2時，△＜0，此時直線l與橢圓C相離．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等，是中檔題．