Question

已知{a_n}是遞減等比數列，a₂=2，a₁+a₃=5，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范圍是（　　）

• A、[12，16）
• B、[8，16）
• C、[8，

  32

  3

  )
• D、[

  16

  3

  ，

  32

  3

  )

Answer 1

分析：先根據等比中項性質可知（a₂）²=a₁•a₃=4，進而根據a₁+a₃=5求得a₁和a₃，進而根據q²=

a3

a1

求得q．根據a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1是數列{a_na_n+1}的前n項和，且數列{a_na_n+1}是以8為首項，

1

4

為公比的等比數列．進而可得前n項和的表達式為S_n=

32

3

（1-

1

22n-2

），可知S_n＜

32

3

，由已知{a_n}是遞減等比數列可知{S_n}的最大項為S₁，進而得到答案．

解答：解：（a₂）²=a₁•a₃=4，a₁+a₃=5，
∴a₁和a₃是方程x²-5x+4=0的兩個根，解得x=1或4
∵{a_n}是遞減等比數列，∴a₁＞a₃，
∴a₁=4，a₃=1
∴q²=

a3

a1

=

1

4

∵{a_n}是遞減等比數列，∴q＞0
∴q=

1

2

∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₁²q+a₁²q³+a₁²q⁵…+a₁²q^2n-1=

8[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

32

3

（1-

1

4n

）＜

32

3

∵{a_n}是遞減等比數列，
∴{S_n}的最小項為S₁=8
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范圍是[8，

32

3

)
故選C

點評：本題主要考查了等比數列的性質．數列內容高考必考內容之一，選擇題主要考查等差、等比數列的性質（尤其是中項公式）、定義，以及前n項和S_n的簡單應用．