Question

一個盒子中裝有6張卡片，上面分別寫著如下6道極限題：
①

lim

x→∞

1

x2

；②

lim

x→0

1

x

；③

lim

x→∞

x2+1

3x2+x+2

；④

lim

x→1

1

x2-1

；⑤

lim

x→1

x2+x-2

x-1

；⑥

lim

n→+∞

(-1)n
（1）現從盒子中任取兩張卡片，求至少有一張卡片上題目極限不存在的概率；
（2）現從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有極取不存在的題的卡片則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）首先判斷①③⑤題極取存在，②④⑥題極限不存在，本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是從6張卡片中取2張，共有C₆²種結果，滿足條件的事件是至少有一張卡片上題目極限不存在，它的對立事件是極限都存在，根據對立事件的概率公式得到結果．
（II）由題意知抽取次數ξ，則ξ的可能值為1，2，3，4，結合變量對應的事件寫出變量的概率，寫出分布列，做出數學期望．

解答：解：（I）由題意知本題是一個古典概型，
∵①③⑤題極取存在，②④⑥題極限不存在，
記事件A為“任取兩張卡片，至少有一張卡片上的題目極限不存在”．
試驗發生包含的事件是從6張卡片中取2張，共有C₆²種結果，
滿足條件的事件是至少有一張卡片上題目極限不存在，
它的對立事件是極限都存在，
∴根據對立事件的概率公式得到P（A）=1-

C 2 3

C 2 6

=

4

5

（2）ξ的可能值為1，2，3，4，
P(ξ=1)=

3

6

=

1

2

，P(ξ=2)=

3

6

•

3

5

=

3

10

，P(ξ=3)=

3

6

•

2

5

•

3

4

=

3

20

P(ξ=4)=

3

6

•

2

5

•

1

4

•

3

3

=

1

20

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．

點評：本題是離散型隨機變量的分布列和期望問題，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，是可以得滿分的一道題目．2011年的山東卷又出現了這種題目．