Question

已知f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=ln（x+2）．
（Ⅰ）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當m∈R時，試比較f（m-1）與f（3-m）的大�。�
（Ⅲ）求最小的整數m（m≥-2），使得存在實數t，對任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當x＜0時，-x＞0，利用f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=ln（x+2），可求函數的解析式；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）=ln（x+2）單調遞增，而f（x）是偶函數，所以f（x）在（-∞，0）上單調遞減，從而可得當m＞2時，f（m-1）＞f（3-m）；當m=2時，f（m-1）=f（3-m）；當m＜2時，f（m-1）＜f（3-m）；
（Ⅲ）當x∈R時，f（x）=ln（|x|+2），則|x+t|+2≤（x+3）²對x∈[m，10]恒成立，從而有對x∈[m，10]恒成立，由此可求適合題意的最小整數m的值．
解答：解：（Ⅰ）當x＜0時，-x＞0，
∵f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=ln（x+2）
∴f（x）=f（-x）=ln（-x+2）…（3分）
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）=ln（x+2）單調遞增，而f（x）是偶函數，所以f（x）在（-∞，0）上單調遞減，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）²＞（3-m）²
所以m＞2…（6分）
所以當m＞2時，f（m-1）＞f（3-m）；當m=2時，f（m-1）=f（3-m）；當m＜2時，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（Ⅲ）當x∈R時，f（x）=ln（|x|+2），則由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）²，
即|x+t|+2≤（x+3）²對x∈[m，10]恒成立…（12分）
從而有對x∈[m，10]恒成立，因為m≥-2，
所以…（14分）
因為存在這樣的t，所以-m²-7m-7≤m²+5m+7，即m²+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以適合題意的最小整數m=-1…（16分）
點評：本題考查函數單調性與奇偶性的綜合，考查函數的解析式，考查恒成立問題，分離參數，確定函數的最值是關鍵．