Question

在△ABC內求一點P,使AP²+²+²的值最小.

Answer 1

思路點撥:運用向量來處理,就要把問題用向量表示出來,AP²+²+²可轉化為向量模的平方來處理,而模的平方又可轉化為數量積,所以可選定一組基底來處理.

解:設=a,=b,=p,則=p-a,=p-b,

于是AP²+BP²+CP²=(p-a)²+(p-b)²+p²=3p²-2(a+b)·p+a²+b²=3［p-(a+b)］²+a²+b²-(a+b)²,

∴當p=(a+b)時,²+²+²取最小值.記D為的中點,則a+b=2,于是=,

∴C、P、D三點共線且P點是△ABC的重心時,²+²+²取最小值,即AP²+BP²+CP²的值最小.

［一通百通］此類題目主要考查向量法處理平面幾何問題,關鍵是如何用向量表示出幾何元素,然后通過向量的運算得出向量關系,再轉化為幾何問題.此題實質上是把三角形兩邊表示的向量作一組基底來處理.用向量法處理幾何問題還可以用坐標法.