Question

為使方程cos2x-sinx+a=0在(0，

π

2

]內有解，則a的取值范圍是

-1＜a≤1

．

Answer 1

分析：由題意可得方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解，函數f（t）=t²+t-a-1 的對稱軸為t=-

1

2

，故有

f(0)•f(1)≤0 f(0)≠0

，解此不等式組求得a的取值范圍．

解答：解：方程cos²x-sinx+a=0即 sin²x+sinx-a-1=0．
由于x∈（0，

π

2

]，∴0＜sinx≤1．
故方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解．
又方程t²+t-a-1=0 對應的二次函數f（t）=t²+t-a-1 的對稱軸為t=-

1

2

，
故有

f(0)•f(1)≤0 f(0)≠0

，即

(a-1)•(1-a)≤0 (-a-1)≠0

．
解得-1＜a≤1．
故答案為：-1＜a≤1．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，一元二次方程的根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想．