Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，直線l過點M（4，0）．
（Ⅰ）若點F到直線l的距離為

3

，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸重合，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，x=4不合題意．設直線l的方程為y=k（x-4），
由已知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），…（1分）
因為點F到直線l的距離為

3

，
所以

|3k|

1+k2

=

3

，…（3分）
解得k=±

2

2

，所以直線l的斜率為±

2

2

．…（5分）
（Ⅱ）設線段AB中點的坐標為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為AB不垂直于x軸，
則直線MN的斜率為

y0

x0-4

，
直線AB的斜率為

4-x0

y0

，…（7分）
直線AB的方程為y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)，…（8分）
聯立方程

y-y0= 4-x0 y0 (x-x0) y2=4x

消去x得(1-

x0

4

)y2-y0y+

y

20

+x0(x0-4)=0，…（10分）
所以y1+y2=

4y0

4-x0

，…（11分）
因為N為AB中點，
所以

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，…（13分）
所以x₀=2．即線段AB中點的橫坐標為定值2．…（14分）