Question

【題目】日前，揚州下達了2018年城市建設和環境提升重點工程項目計劃，其中將對一塊以O為圓心，R（R為常數，單位：米）為半徑的半圓形荒地進行治理改造，如圖所示，△OBD區域用于兒童樂園出租，弓形BCD區域（陰影部分）種植草坪，其余區域用于種植觀賞植物．已知種植草坪和觀賞植物的成本分別是每平方米5元和55元，兒童樂園出租的利潤是每平方米95元．

（1）設∠BOD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形BCD的面積S弓=f（θ）；

（2）如果市規劃局邀請你規劃這塊土地，如何設計∠BOD的大小才能使總利潤最大？并求出該最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤取最大值R2（50π）.

【解析】分析：根據弓形的面積等于扇形的面積減去三角形的面積，即可求解弓形的面積；

（2）由題意列出函數的關系式，利用導數判斷函數的單調性，即可求解最大值．

詳解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，

S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）

（2）設總利潤為y元，兒童樂園利潤為y1元，種植草坪成本為y2元，種植觀賞植物成本為y3元；

則y1=R2sinθ95，y2=R2（θ﹣sinθ）5，y3=R2（π﹣θ）55，

∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），

設g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．

∴g′（θ）=100cosθ+50

∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上為減函數；

g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上為增函數；

當θ=時，g（θ）取到最大值，此時總利潤最大，

此時總利潤最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．

（求最值時，如不交代單調性或者列表，扣2分）

答：所以當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤取最大值R2（50﹣π）