Question

（2013•韶關二模）給出如下四個命題：
①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題；
②命題“若a＞b，則2^a＞2^b-1”的否命題為“若a≤b，則2^a≤2^b-1”；
③“?x∈R，x²+1≥1”的否定是“?x∈R，x²+1≤1”；
④等比數列{a_n}中，首項a₁＜0，則數列{a_n}是遞減數列的充要條件是公比q＞1；
其中不正確的命題個數是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①先根據“p且q”為假命題得到命題p與命題q中至少有一個假命題，進行判斷；
②寫出一個命題的否命題的關鍵是正確找出原命題的條件和結論．
③全稱命題：“?x∈A，P（x）”的否定是特稱命題：“?x∈A，非P（x）”，結合已知中原命題“?x∈R，都有有x²+1≥x”，易得到答案．
④先證必要性，由首項小于0，數列為遞減數列，可得公比q大于0，得到數列的各項都小于0，利用等比數列的性質化簡

an+1

an

，得到其比值為q，根據其比值大于1，得到公比q大于1，綜上，得到滿足題意的q的范圍；再證充分性，由q＞1，首項為負數，得到數列各項都為負數，利用等比數列的性質化簡

an+1

an

，得到其比值為q，根據q大于1，得到a_n+1＜a_n，即數列為遞減數列，綜上，得到{a_n}是遞減數列的充要條件是公比q滿足q＞1．得到正確的選項．

解答：解：①命題“p且q”為假命題，說明命題p與命題q中至少有一個假命題；故①不正確；
②命題“若a＞b，則2^a＞2^b-1”的否命題為“若a≤b，則2^a≤2^b-1”．正確；
③∵原命題“?x∈R，有x²+1≥1”
∴命題“?x∈R，有x²+1≥1”的否定是：?x∈R，使x²+1＜1．故③不正確；
④先證必要性：
∵a₁＜0，且{a_n}是遞減數列，
∴a_n＜0，即q＞0，且

an+1

an

=q＞1，
則此時等比q滿足q＞1，
再證充分性：
∵a₁＜0，q＞1，
∴a_n＜0，
∴

an+1

an

=q＞1，即a_n+1＜a_n，
則{a_n}是遞減數列，
綜上，{a_n}是遞減數列的充要條件是公比q滿足q＞1．正確．
故選C．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用、命題的否定、否命題、等比數列的性質，通項公式，以及充要條件的證明等，屬基礎題型．