Question

已知數(shù)列和滿足：，，,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).

（Ⅰ）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；   

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有

  ？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

（Ⅱ）證明：

                 

又，，由上式知，

故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）得，于是

   

    當(dāng)時(shí)，，從而上式仍成立.

    要使對(duì)任意正整數(shù)n , 都有，

即          

    令，則

    當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，

   

    于是可得

    綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有

  的取值范圍為。