Question

(本小題滿分14分)

 已知圓方程為：.

（Ⅰ）直線過點，且與圓交于、兩點，若，求直線的方程;

（Ⅱ）過圓上一動點作平行于軸的直線，設與軸的交點為，若向量，求動點的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或；                

（Ⅱ）點的軌跡方程是，軌跡是一個焦點在軸上的橢圓，除去短軸端點.  

【解析】(I)先討論直線不存在時，是否符合題意.

然后再設直線斜率存在時的方程為,再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用弦長公式,建立關于k的方程，求解即可.

(II)本小題屬于相關點求軌跡方程.設點的坐標為（），點坐標為

則點坐標是，再根據，得到，

然后利用點M在圓上，可得到動點Q的軌跡方程，再通過方程判斷軌跡是什么曲線.

解：（Ⅰ）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標和，其距離為. 滿足題意   ………  1分

②若直線不垂直于軸，設其方程為，即     

設圓心到此直線的距離為，則，得  …………3分       

∴，，                                    

故所求直線方程為                               

綜上所述，所求直線為或   …………7分                  

（Ⅱ）設點的坐標為（），點坐標為

則點坐標是                       …………9分

∵，

∴  即，    …………11分          

又∵，∴                     

∴點的軌跡方程是，               …………13分     

軌跡是一個焦點在軸上的橢圓，除去短軸端點.    …………14分